pembuktian rumus penjumlahan sin (a+b)

perhatikan gambar

kita akan menggunakan rumus segitiga sebarang utk membuktikannya yaiitu:

L sgt ABC= 1/2 .a.c sin B  dan sudut B= sdt a + sdt b

lihatlah sgt ABD 

sin a=AD/c   atau  AD=c .sin a

cos a=BD/c  atau BD=c.cos a

L sgt ABD=1/2 c.BD sin a karna BD=c.cosa maka

L sgt ABD=1/2 c.c cos a sin a=1/2 c^2  cos a sin a

Karna yg kita cari tidak mengandung cos a sin a maka kita harus mencari nilai lain dr BD yang bukan c.cos a yaitu pada sgt sebelahnya

Lihat lagi sgt sebelahnya

sin b=DC/a  atau DC=a.sin b

cos b=DB/a  atau DB=a.cos b

L sgt ABD=1/2 c.BD sin a  karna BD=a.cos b mka

Lsgt ABD=1/2  c.a cos b sin a

Demikian pula utk 

L sgt BDC=1/2  a.BD sin b  karna nilai BD mengambil dr sgt ABD=c.cos a

L sgt BDC=1/2  a.c.cosa sin b

Jadi luas sgt ABC = L sgt ABD + L sgt BDC = 1/2  c.a cos b sin a+1/2 a.c cos a sin b

   =1/2 a.c(sin a cos b+cos a sin b)  terbukti